9.3 A magic index in an array A[0.. .n-1] is defined to be an index such that A[i] = i. Given a sorted array of distinct integers, write a method to find a magic index, if one exists, in array A.

FOLLOW UP

What if the values are not distinct?

 

这道题定义了一个魔法序号，就是一个数组的序号等于该位置的值的时候，这个序号就是魔法序号，给了我们一个有序数组，让我们来找魔法序号。这里brute force的方法就不提了，因为没啥考察的目的，对于高效的查找方法我们就要首先考虑二分搜索法，首先我们来看这种方法，没啥特别的地方，套用一般的二分查找法的格式即可，参见代码如下：

 

class Solution {public:    int getMagicIdx(vector
     
       &nums) {        int left = 0, right = nums.size() - 1;        while (left <= right) {            int mid = (left + right) / 2;            if (nums[mid] == mid) return mid;            else if (nums[mid] > mid) right = mid - 1;            else left = mid + 1;        }        return -1;    }};
     

 

这道题的Follow up是说如果数组由重复项怎么处理，那么传统的二分搜索法就会失效，因为下列这种情况可能存在：

-10	-5	2	2	2	3	4	7	9	12	13
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

这种情况符合题意，但是左右两边都会出现魔法序号，所以二分查找法会失效。那么我们难道又要用地毯式搜索了么，其实也不必，我们可以用一种类似于二分搜索法的递归方法来解决问题，就拿上面那个例子来说，第一次找到比较完中间点后，由于左右两边都会出现答案，所以我们左右半段要分别递归一下，这里我们可以加一个trick来优化算法，比如要递归左半段时，那么新的右边界就可以设为min(mid - 1, nums[mid])，同理递归右半段时，左边界可以设为max(mid + 1, nums[mid])。还有个小trick，就是如果左半段搜到了答案，那么直接返回即可，不用再搜右半段，因为题目让我们找一个就行了，没说要找出所有的Magic index，参见代码如下：

 

// Follow upclass Solution {public:    int getMagicIdx(vector
     
       &nums) {        return getMagicIdxDFS(nums, 0, nums.size() - 1);    }    int getMagicIdxDFS(vector
      
        &nums, int start, int end) {        if (end < start) return -1;        int mid = (start + end) / 2;        if (mid == nums[mid]) return mid;        int left = getMagicIdxDFS(nums, start, min(mid - 1, nums[mid]));        if (left >= 0) return left;        int right = getMagicIdxDFS(nums, max(mid + 1, nums[mid]), end);        return right;    }};